Espace
- Une fourmi vit dans un espace plat : un plan P.
- Une autre fourmi vit dans un espace courbe : une sphère S(R).
- Chaque espace a un repère d'origine O et une direction de référence.
- Chaque fourmi est placée sur un point M(r, θ).
- Un cercle C(O, r) passe par M.
- Une source lumineuse est placée en O.
- Dans P : C = 2πr.
- Sur S :
α = r/R ⇒ ρ = Rsin(α) = Rsin(r/R)
C = 2πρ ⇒ C = 2πRsin(r/R).
Flux lumineux
- F = puissance/circonférence en M = P/C.
- Dans P : F = P/2πr, courbe décroissante en 1/x.
- Sur S : F = P/2πRsin(r/R), courbe en U avec asymptote pour r = πR.
- La fourmi se rend compte qu'elle est dans un espace courbe de rayon R, si elle observe des chandelles standard parce qu'elles se trouveront sur une courbe en U.
Taille angulaire
- Dans P : β = L/r.
- Sur S :
L/C = β/2π
⇒ β = 2πL/C
⇒ β = L/Rsin(r/R), courbe en U similaire au flux.
Distance en 2D
- dl = distance MN entre M(r, θ) et N(r + dr, θ + dθ).
- Dans P : dl² = dr² + r²dθ².
- Dans S :
MP/C = dθ/2π, MP = C/2π dθ = Rsin(r/R)dθ.
dl² = dr² + ρ²dθ², MP = ρdθ
⇒ dl² = dr² + R² sin²(r/R) dθ².
Distance en 3D
- corde MN = arc MN si petit
- En coordonnées cartésiennes :
MN² = (xN - xM)² + (yN - yM)² + (zN - zM)² - En coordonnées cylindriques :
dl = distance MN entre M(ρ, θ, z) et N(ρ + dρ, θ + dθ, z + dz)
dl² = dρ² + ρ² dθ² + dz²
ρ² + z² = R² ⇒ 2ρdρ + 2zdz = 0 par différenciation ⇒ dz = -ρdρ/z
⇒ dl² = dρ² + ρ²dθ² + ρ²dρ²/z²
⇒ dl² = dρ² + ρ²dθ² + ρ²dρ²/(R² - ρ²)
⇒ dl² = R² dρ²/(R² - ρ²) + ρ² dθ²
Intervalle relativiste
- ds² = c²dt² - dl²
- Sphère avec coord. en 2D : ds² = c²dt² - (dr² + R² sin²(r/R) dθ²)
- Sphère avec coord. en 3D (R > 0) : ds² = c²dt² - (R² dρ²/(R² - ρ²) + ρ² dθ²)
- Selle de cheval avec coord. en 3D (R < 0) : ds² = c²dt² - (R² dρ²/(R² + ρ²) + ρ² dθ²)
Intervalle en fonction du rayon f(r)
- Univers homogène et isotrope
- ds² = c²dt² - (dr² + f²(r)dθ²), coordonnées en 2D
- Plan : f(r) = r (C = 2πr)
- Sphère (R > 0) : f(r) = R sin(r/R) (C < 2πr)
- Selle de cheval (R < 0) : f(r) = R sinh(r/R) (C > 2πr)
Rayon de courbure en fonction du temps R(t)
- ds² = c²dt² - (R²(t) dρ²/(R²(t) - ρ²) + ρ² dθ²)
- ds² = c²dt² - R²(t) { (dρ/R(t))² / (1 - ρ²/R²(t)) + ρ²/R²(t) dθ² }
En coordonnées comobiles
- ρ' = ρ/R, insensible à l'augmentation de R
- ds² = c²dt² - R²(t) { dρ'²/(1 - ρ'²) + ρ'²dθ² }
- Géométrie d'une sphère de taille unitaire.
Richard Taillet. Cours de cosmologie (3) - Surfaces courbes, 12/2015, podcast.grenet.fr.
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