Cosmologie de fourmi en 2 dimensions

Espace

• Une fourmi vit dans un espace plat : un plan P.
• Une autre fourmi vit dans un espace courbe : une sphère S(R).
• Chaque espace a un repère d'origine O et une direction de référence.
• Chaque fourmi est placée sur un point M(r, θ).
• Un cercle C(O, r) passe par M.
• Une source lumineuse est placée en O.

Circonférence

• Dans P : C = 2πr.
• Sur S :
  α = r/R ⇒ ρ = Rsin(α) = Rsin(r/R)
  C = 2πρ ⇒ C = 2πRsin(r/R).

Flux lumineux

• F = puissance/circonférence en M = P/C.
• Dans P : F = P/2πr, courbe décroissante en 1/x.
• Sur S : F = P/2πRsin(r/R), courbe en U avec asymptote pour r = πR.
• La fourmi se rend compte qu'elle est dans un espace courbe de rayon R, si elle observe des chandelles standard parce qu'elles se trouveront sur une courbe en U.

Taille angulaire

• Dans P : β = L/r.
• Sur S :
  L/C = β/2π
  ⇒ β = 2πL/C
  ⇒ β = L/Rsin(r/R), courbe en U similaire au flux.

Distance en 2D

• dl = distance MN entre M(r, θ) et N(r + dr, θ + dθ).
• Dans P : dl² = dr² + r²dθ².
• Dans S :
  MP/C = dθ/2π, MP = C/2π dθ = Rsin(r/R)dθ.
  dl² = dr² + ρ²dθ², MP = ρdθ
  ⇒ dl² = dr² + R² sin²(r/R) dθ².

Distance en 3D

• corde MN = arc MN si petit
  
• En coordonnées cartésiennes :
  MN² = (xN - xM)² + (yN - yM)² + (zN - zM)²
• En coordonnées cylindriques :
  dl = distance MN entre M(ρ, θ, z) et N(ρ + dρ, θ + dθ, z + dz)
  dl² = dρ² + ρ² dθ² + dz²
  ρ² + z² = R² ⇒ 2ρdρ + 2zdz = 0 par différenciation ⇒ dz = -ρdρ/z
  ⇒ dl² = dρ² + ρ²dθ² + ρ²dρ²/z²
  ⇒ dl² = dρ² + ρ²dθ² + ρ²dρ²/(R² - ρ²)
  ⇒ dl² = R² dρ²/(R² - ρ²) + ρ² dθ²

Intervalle relativiste

• ds² = c²dt² - dl²
• Sphère avec coord. en 2D : ds² = c²dt² - (dr² + R² sin²(r/R) dθ²)
• Sphère avec coord. en 3D (R > 0) : ds² = c²dt² - (R² dρ²/(R² - ρ²) + ρ² dθ²)
• Selle de cheval avec coord. en 3D (R < 0) : ds² = c²dt² - (R² dρ²/(R² + ρ²) + ρ² dθ²)

Intervalle en fonction du rayon f(r)

• Univers homogène et isotrope
• ds² = c²dt² - (dr² + f²(r)dθ²), coordonnées en 2D
• Plan : f(r) = r (C = 2πr)
• Sphère (R > 0) : f(r) = R sin(r/R) (C < 2πr)
• Selle de cheval (R < 0) : f(r) = R sinh(r/R) (C > 2πr)

Rayon de courbure en fonction du temps R(t)

• ds² = c²dt² - (R²(t) dρ²/(R²(t) - ρ²) + ρ² dθ²)
• ds² = c²dt² - R²(t) { (dρ/R(t))² / (1 - ρ²/R²(t)) + ρ²/R²(t) dθ² }

En coordonnées comobiles

• ρ' = ρ/R, insensible à l'augmentation de R
• ds² = c²dt² - R²(t) { dρ'²/(1 - ρ'²) + ρ'²dθ² }
• Géométrie d'une sphère de taille unitaire.

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Richard Taillet. Cours de cosmologie (3) - Surfaces courbes, 12/2015, podcast.grenet.fr.