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Cosmologie de fourmi en 2 dimensions

Espace
  • Une fourmi vit dans un espace plat : un plan P.
  • Une autre fourmi vit dans un espace courbe : une sphère S(R).
  • Chaque espace a un repère d'origine O et une direction de référence.
  • Chaque fourmi est placée sur un point M(r, θ).
  • Un cercle C(O, r) passe par M.
  • Une source lumineuse est placée en O.
Circonférence
  • Dans P : C = 2πr.
  • Sur S :
    α = r/R ⇒ ρ = Rsin(α) = Rsin(r/R)
    C = 2πρ ⇒ C = 2πRsin(r/R).
Flux lumineux
  • F = puissance/circonférence en M = P/C.
  • Dans P : F = P/2πr, courbe décroissante en 1/x.
  • Sur S : F = P/2πRsin(r/R), courbe en U avec asymptote pour r = πR.
  • La fourmi se rend compte qu'elle est dans un espace courbe de rayon R, si elle observe des chandelles standard parce qu'elles se trouveront sur une courbe en U.
Taille angulaire
  • Dans P : β = L/r.
  • Sur S :
    L/C = β/2π
    ⇒ β = 2πL/C
    β = L/Rsin(r/R), courbe en U similaire au flux.
Distance en 2D
  • dl = distance MN entre M(r, θ) et N(r + dr, θ + dθ).
  • Dans P : dl² = dr² + r²dθ².
  • Dans S :
    MP/C = dθ/2π, MP = C/2π dθ = Rsin(r/R)dθ.
    dl² = dr² + ρ²dθ², MP = ρdθ
    dl² = dr² + R² sin²(r/R) dθ².
Distance en 3D
  • corde MN = arc MN si petit
  • En coordonnées cartésiennes :
    MN² = (xN - xM)² + (yN - yM)² + (zN - zM)²
  • En coordonnées cylindriques :
    dl = distance MN entre M(ρ, θ, z) et N(ρ + dρ, θ + dθ, z + dz)
    dl² = dρ² + ρ² dθ² + dz²
    ρ² + z² = R² ⇒ 2ρdρ + 2zdz = 0 par différenciation ⇒ dz = -ρdρ/z
    ⇒ dl² = dρ² + ρ²dθ² + ρ²dρ²/z²
    ⇒ dl² = dρ² + ρ²dθ² + ρ²dρ²/(R² - ρ²)
    dl² = R² dρ²/(R² - ρ²) + ρ² dθ²
Intervalle relativiste
  • ds² = c²dt² - dl²
  • Sphère avec coord. en 2D : ds² = c²dt² - (dr² + R² sin²(r/R) dθ²)
  • Sphère avec coord. en 3D (R > 0) : ds² = c²dt² - (R² dρ²/(R² - ρ²) + ρ² dθ²)
  • Selle de cheval avec coord. en 3D (R < 0) : ds² = c²dt² - (R² dρ²/(R² + ρ²) + ρ² dθ²)
Intervalle en fonction du rayon f(r)
  • Univers homogène et isotrope
  • ds² = c²dt² - (dr² + f²(r)dθ²), coordonnées en 2D
  • Plan : f(r) = r (C = 2πr)
  • Sphère (R > 0) : f(r) = R sin(r/R) (C < 2πr)
  • Selle de cheval (R < 0) : f(r) = R sinh(r/R) (C > 2πr)
Rayon de courbure en fonction du temps R(t)
  • ds² = c²dt² - (R²(t) dρ²/(R²(t) - ρ²) + ρ² dθ²)
  • ds² = c²dt² - R²(t) { (dρ/R(t))² / (1 - ρ²/R²(t)) + ρ²/R²(t) dθ² }
En coordonnées comobiles
  • ρ' = ρ/R, insensible à l'augmentation de R
  • ds² = c²dt² - R²(t) { dρ'²/(1 - ρ'²) + ρ'²dθ² }
  • Géométrie d'une sphère de taille unitaire.

Richard Taillet. Cours de cosmologie (3) - Surfaces courbes, 12/2015, podcast.grenet.fr.

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