Le tambour relativiste

Le problème

• Un musicien (R') avec un tambour passe devant un spectateur (R) à une vitesse relativiste (V).
• Le musicien frappe deux coups sur le tambour espacés d'une durée Δt'.
• Quelle est cette durée Δt du point de vue du spectateur ?

D'après les transformations de Lorentz

• cΔt' = γ(cΔt - βΔx)
• Δx' = γ(Δx - βcΔt)
• β = v/c
• γ = 1/√(1 - β²)
  ⇒ 1 - β² = 1/γ²

La solution

• Du point de vue du musicien :
  Δx' = 0
  ⇒ Δx = βcΔt
• Du point de vue du spectateur :
  ⇒ cΔt' = γ(cΔt - β²cΔt)
  ⇒ Δt' = γΔt(1 - β²)
  ⇒ Δt = γΔt'
  
• La durée paraît plus longue car γ > 1.

Exemple

• Le musicien frappe deux coups à une seconde d'intervalle et se déplace à 0,995 fois la vitesse de la lumière :
  Δt = 1s
  v = 0,995c
  ⇒ β = 0,995
  ⇒ γ = 10
  ⇒ Δt' = 10s
• Le spectateur mesure 10 secondes entre les deux coups.

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Relativité restreinte - Dilatation des durées, fr.wikipedia.org.
La Théorie de Relativité Restreinte d'Einstein — Science étonnante #45, 9/2017.