Démêler le vrai du faux positif

Une femme, devant le résultat positif d'une mammographie, demande à son médecin la probabilité qu'elle soit atteinte d'un cancer. Une étude menée en 2007 a montré qu'un médecin sur cinq seulement a su donner la bonne réponse, en tenant compte des données suivantes :

• la prévalence de cancers dans la région est de 1% [p(A)]
• si une femme a un cancer, la probabilité d'un test positif (sensibilité) est de 90% [p(B/A)]
• si une femme n'a pas de cancer, la probabilité d'un test positif (faux positif) est de 9% [p(B/Ā)].

La probabilité d'un cancer avec un test positif est en fait inférieure à 1 sur 10 [p(A/B)].

Explication :

On a p(A/B) = p(A ∩ B) / p(B)
hors p(B)   = p(A ∩ B) + p(​Ā ​∩ B)
donc p(A/B) = p(A ∩ B) / (p(A ∩ B) + p(​Ā ​∩ B))
donc p(A/B) = 1 / (1 + p(​Ā ​∩ B) / p(A ∩ B))

hors p(A ∩ B) = p(A).p(B/A)
et   p(Ā ∩ B) = p(Ā).p(B/Ā)
donc p(A/B)   = 1 / (1 + p(Ā).p(B/Ā) / p(A).p(B/A))

hors p(Ā)   = 1 - p(A) = 99%
donc p(A/B) = 1 / (1 + 99% . 9% / 1% . 90%) = 1 / 10.9 = 9%

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Gert Gigerenzer et al. Santé: Halte à la manipulation, Hors-Série Pour la Science N°98 p.95, 2/2018.